知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．一个多面体的直观图及三视图分别如图1和图2所示（其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图是直角三角形），M、N分别是AB₁、A₁C₁的中点，MN⊥AB₁．

（Ⅰ）求实数a的值并证明MN∥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）在上面结论下，求平面AB₁C₁与平面ABC所成锐二面角的余弦值．

难度：中等

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2．如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁（即底面为正方形的直四棱柱）中，AA₁=2AB=4，点 E 在 CC₁ 上且 C₁E=3EC．
（1）证明：A₁C丄平面BED；
（2）求直线A₁C与平面A₁DE所成角的正弦值．

难度：中等

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3．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，CA=CB=CC₁=2，M是BC的中点．
（I）求证：A₁C∥平面AB₁M；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-M的大小．

难度：中等

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4．如图，正方形ABCD与直角梯形ACEF所在的平面垂直于梯形下底AC，AB=2，梯形上底EF与直角腰EC相等且为
2
．
（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：CF⊥平面BDE；
（Ⅲ）求二面角A-BE-D的大小．

难度：中等

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5．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为平行四边形，且AD=2，AB=AA₁=4，∠BAD=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：AC₁∥平面EB₁C；
（Ⅱ）求直线ED₁与平面EB₁C所成角．

难度：中等

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6．如图，四边形ABCD中（图1），E是BC的中点，DB=2，DC=1，BC=
5
，AB=AD=
2
．将（图1）沿直线BD折起，使二面角A-BD-C为60°（如图2）
（1）求证：AE⊥平面BDC；
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

难度：中等

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7．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=AA₁=2，D为AC的中点．
（1）求证：AB₁∥平面BDC₁；
（2）求二面角B-C₁D-C的正切值；
（3）设AB₁的中点为G，问：在矩形BCC₁B₁内是否存在点H，使得GH⊥平面BDC₁．若存在，求出点H的位置，若不存在，说明理由．

难度：较难

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8．已知点A（1，0，0），B（0，
1
2
，0），C（0，0，1）求平面ABC的一个法向量．

难度：中等

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9．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=
3
，BC=1，PA=2，E为PD的中点．
（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；
（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

难度：较难

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10．如图，三角ABC是边长为4正三角形，PA⊥底面ABC，PA=
7
，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥AC．
（1）证明：DE⊥平面PAC；
（2）求直线AD和平面PDE所成角的正弦值．

难度：较难

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