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          共50条信息

            • 1． 已知数列{an}满足an=n•2n-1（n∈N*）．是否存在等差数列{bn}，使得数列{an}与{bn}满足an=b1Cn1+b2Cn2+b3Cn3+…+bnCnn对一切正整数n成立？证明你的结论．
              难度：较难
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            • 2． 用数学归纳法证明等式：n∈N，n≥1，1-
              1
              2
              +
              1
              3
              -
              1
              4
              +…+
              1
              2n-1
              -
              1
              2n
              =
              1
              n+1
              +
              1
              n+2
              +…+
              1
              2n
              ．
              难度：中等
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            • 3． 设f(n)=1+
              1
              2
              +
              1
              3
              +
              1
              4
              +…+
              1
              2n
              ，则f（k+1）-f（k）=    ．
              难度：中等
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            • 4． 已知（x+1）n=a0+a1（x-1）+a2（x-1）+a3（x-1）3+…+an（x-1）n，（其中n∈N*）
              （1）求a0及Sn=
              n
              i=1
              ai              ；
              （2）试比较Sn与（n-2）2n+2n2的大小，并说明理由．
              难度：难
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            • 5． 用数学归纳法证明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n•1•2•…•（2n-1）”（n∈N+）时，从“n=k到n=k+1”时，左边应增添的式子是    ．
              难度：中等
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            • 6． 设函数f（x）=x2-2（-1）klnx（k∈N*），f′（x）表示f（x）的导函数．
              （1）求函数y=f（x）的单调增区间；
              （2）当k为偶数时，数列{an}满足：a1=1，anf′（an）=an+12-3．证明：数列{an2}中的任意三项不能构成等差数列；
              （3）当k为奇数时，证明：对任意正整数都有[f′（x）]n-2n-1f′（xn）≥2n（2n-2）成立．
              难度：难
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            • 7． 求证：32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除．
              难度：中等
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            • 8． 设f（x）的定义域为（0，+∞），f（x）的导函数为f'（x），且对任意正数x均有f′(x)＞
              f(x)
              x
              ，
              （1）判断函数F(x)=
              f(x)
              x
              在（0，+∞）上的单调性；
              （2）设x1，x2∈（0，+∞），比较f（x1）+f（x2）与f（x1+x2）的大小，并证明你的结论；
              （3）设x1，x2，…xn∈（0，+∞），若n≥2，比较f（x1）+f（x2）+…+f（xn）与f（x1+x2+…+xn）的大小，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 9． 函数数列{fn（x）}满足：f1(x)=
              x
              		1+x2
              (x＞0)              ，fn+1（x）=f1[fn（x）]
              （1）求f2（x），f3（x）；
              （2）猜想fn（x）的表达式，并证明你的结论．
              难度：较难
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            • 10． 设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
              5
              2
              x              ，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
              （1）求证：an+1+an-1＜
              5
              2
              an(n=1，2，…)              ；
              （2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
              1
              2
              )n              （n∈N*）；
              （3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
              A•4n+B
              2n
              成立；②当n=2，3，…时，有an＜
              A•4n+B
              2n
              成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．
              难度：难
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