知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．设f（x）=x³-
1
2
x²-2x+5，若至少存在一个x₀∈[-1，2]时，f（x₀）＜m成立，则实数m的取值范围是．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=lnx，g（x）=alnx-
1
2
x²，h（x）=
1
2
x²．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）对于函数f（x）与h（x）定义域内的任意实数x，若存在直线y=kx+b，使得f（x）≤kx+b和h（x）≥kx+b都成立，则称直线y=kx+b为函数f（x）与h（x）的分界线，求证：直线y=x-
1
2
为函数f（x）与h（x）的分界线．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=ln（x+1）-x，若对任意的x∈（0，+∞），有f（x）≥kx²成立，则实数k的取值范围为（　　）

A．（-∞，-

）

B．（-∞，-

]

C．（-∞，-2]

D．（-∞，-2）

难度：中等

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4．已知f（x）=x+asinx．
（1）若a=1．求f（x）在区间[0，1]上的最大值；
（2）若f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=ax³+blnx在点（1，0）处的切线的斜率为1．
（1）求a，b的值；
（2）是否存在实数t使函数F（x）=f（x）+lnx的图象恒在函数g（x）=
t
x
的图象的上方，若存在，求出t的取值范围；若不存在，说明理由．

难度：中等

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6．已知f（x）=
ex，x≤0
1-x，0＜x＜1
x-1
，x≥1
，若a＜b＜c，f（a）=f（b）=f（c），则实数a+3b+c的取值范围是．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=1+ax-alnx，a≠0．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象过点（1，0），是否存在实数b，使得对任意的实数c∈[1，2]，函数g（x）=x³+x²[f′（x）+b]在区间（c，3）上不单调（f′（x）是f（x）的导函数）？若存在，求b的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）设a_i=
lni
i
（i∈N^*），求证：a₂•a₃…a_n＜
1
n
（n≥2且n∈N^*）．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=lnx十
2a
x+1
（a∈R）．
（Ⅰ）若函数f（x）存在极大值，试求a的取值范围；
（Ⅱ）当a为何值时，对任意的x＞0，且x≠1，均有
lnx
x-1
-
a
x+1
＞0．

难度：中等

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9．已知函数f（x）=ln（a+x）在点（0，f（0））处的切线斜率为1．
（1）求实数a的值；
（2）证明：f（x）≤x；
（3）证明：f（
1
12
）+f（
1
22
）+f（
1
32
）+…+f（
1
n2
）＜2．

难度：中等

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10．已知函数f（x）=e^x-x，g（x）=ax²+1，其中e为自然对数的底数．
（1）若函数F（x）=f（x）-g（x）的导函数F′（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的最大值；
（2）求证：f（1）+f（
1
2
）+f（
1
3
）+…+f（
1
n
）＞
n(2n+3)
2(n+1)
，n∈N₊．

难度：中等

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