知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（x）=x²-alnx，a∈R．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＞0时，若f（x）的最小值为1，求a的值；
（3）设g（x）=f（x）-2x，若g（x）有两个极值点x₁，x₂（x₁＜x₂），证明：g（x₁）+g（x₂）＞-
5
2
．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=
1-x
ex
．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的零点和极值；
（3）若对任意x₁，x₂∈[a，+∞），都有f（x₁）-f（x₂）≥-
1
e2
成立，求实数a的最小值．

难度：中等

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3．已知函数f（x）=2e^x-（x-a）²+3，g（x）=f′（x）．
（Ⅰ）当a为何值时，x轴是曲线y=g（x）的切线？
（Ⅱ）当a＜-1时，证明：g（x）在[0，+∞）有唯一零点；
（Ⅲ）当x≥0时，f（x）≥0，求实数a的取值范围．

难度：较难

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4．已知函数f（x）=xlnx+ax（a∈R）．
（Ⅰ）若a=-2，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x∈（1，+∞），f（x）＞k（x-1）+ax-x恒成立，求正整数k的值．（参考数据：ln2=0.6931，ln3=1.0986）

难度：较难

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5．已知函数f（x）=e^x-alnx．
（1）曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y=（e-1）x+1，求a；
（2）当1＜a＜e²时，证明：f（x）＞0．

难度：中等

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6．已知函数f（x）=ax²-
1
2
x+2ln（x+1）
（Ⅰ）求函数f（x）的图象在点（0，f（0））的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）-ln（x+1），当x∈[0，+∞）时，h（x）≤
1
2
x恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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7．已知函数f（x）=ax²-blnx在点（1，f（1））处的切线方程为y=1；
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求f（x）的最小值．

难度：中等

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8．已知函数f（x）=2x³-6x²+m（m为常数）在[-2，2]上的最小值为-38，则f（x）在[-2，2]上的最大值是（　　）

A．1

B．-1

C．2

D．-2

难度：较易

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9．已知函数f（x）=axlnx（a≠0，a∈R）．
（1）若函数f（x）有极小值-
1
e
，求f（x）的单调函数；
（2）证明：当a＞0时，f（x）≥a（x-1）；
（3）当x∈（1，e）是，不等式
x-1
a
＜lnx恒成立，求实数a的取值范围．

难度：较难

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10．已知函数f（x）=x²-3x+m+1nx（m∈R）
（1）求f（x）的单调增区间与减区间；
（2）填表（不要求过程，只填结果即可）
m的范围
方程f（x）=0的解得个数 1 2 3

难度：中等

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m的范围
方程f（x）=0的解得个数	1	2	3