知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

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共50条信息

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，一个顶点为A（2，0），离心率为
2
2
，直线y=k（x-1）与椭圆C交于不同的两点M、N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为
4
2
5
时，求k的值．

难度：中等

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2．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)与y轴交于B₁、B₂两点，F₁为椭圆C的左焦点，且△F₁B₁B₂是腰长为
2
的等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线x=my+1与椭圆C交于P、Q两点，点P关于x轴的对称点为P₁（P₁与Q不重合），则直线P₁Q与x轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

难度：中等

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3．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短轴长为2，离心率为
2
5
5
，抛物线G：y²=2px（p＞0）的焦点F与椭圆E的右焦点重合，若斜率为k的直线l过抛物线G的焦点F与椭圆E相交于A，B两点，与抛物线G相交于C，D两点．
（Ⅰ）求椭圆E及抛物线G的方程；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得
1
|AB|
+
λ
|CD|
为常数？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：中等

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4．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
3
2
，点A，B分别是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆C上异于A，B两点的任意一点，当△PAB为等腰三角形时，则△PAB的面积为2，．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线AP与直线x=4交于点M，直线MB交椭圆C于点Q，试问：直线PQ是否过定点？若是，求出定点的坐标，若不是，说明理由．

难度：较难

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5．如图，点F为椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）右焦点，圆A：（x-t）²+y²=
16
3
（t＜0）与椭圆C的一个公共点为B（0，2），且直线FB与圆A相切于点B．
（Ⅰ）求t的值和椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若F′是椭圆C的左焦点，点P是椭圆C上除长轴上两个顶点外的任意一点，且∠F′PF=θ，求θ的最大值．

难度：中等

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6．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆E的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）它的离心率为
3
3
，一个焦点是（-1，0），过直线x=3上一点M引椭圆E的两条切线，切点分别是A和B．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若在椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上的点（x₀，y₀）处的切线方程是
x0x
a2
+
y0y
b2
=1．求证：直线AB恒过定点，并求出定点的坐标；
（Ⅲ）记点C为（Ⅱ）中直线AB恒过的定点，问是否存在实数λ，使得|
AC
|+|
BC
|=λ|
AC
|•|
BC
|成立，若成立求出λ的值，若不存在，请说明理由．

难度：较难

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7．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点F的坐标为（1，0），且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）过右焦点F的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点Q关于x轴的对称点为Q′，试问△FPQ′的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．

难度：中等

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8．椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别F₁，F₂，点P(-1，
3
2
)是椭圆C的一点，满足
PF 1
•
PF2
=
9
4
．
（I）求椭圆C的方程．
（II）已知O为坐标原点，设A、B是椭圆E上两个动点，
PA
+
PB
=λ
PO
(0＜λ＜4，λ≠2)．求证：直线AB的斜率为定值．

难度：中等

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9．已知点P为圆x²+y²=4上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q（P与Q不重合），M为线段PQ中点．
（1）求点M的轨迹C的方程；
（2）直线y=kx交（1）中轨迹C于A，B两点，当直线MA，MB斜率K_MA，K_MB都存在时，求证：K_MA•K_MB为定值．

难度：中等

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10．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁、F₂，其离心率e=
1
2
，点P为椭圆上的一个动点，△PF₁F₂面积的最大值为4
3
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）经过F₂的直线m与曲线C交于P、Q两点，若|PQ|²=|F₁P|²+|F₁Q|²，求直线m的方程．

难度：较难

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