知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

2．已知函数f（x）=mx-
m
x
，g（x）=3lnx．
（1）当m=4时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若x∈（1，
e
]（e是自然对数的底数）时，不等式f（x）-g（x）＜3恒成立，求实数m的取值范围．

难度：较难

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3．设函数f（x）=（x+a）lnx，g（x）=
2x2
ex
．已知曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线过点（2，3）
（1）求实数a的值；
（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）=g（x）在（k，k+1）内存在唯一的根？如果存在，求出k，如果不存在，请说明理由；
（3）设函数m（x）=min{f（x），g（x）}（min（p，q）表示p，q中的较小值），求m（x）的最大值．

难度：中等

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4．设函数f（x）=
a•2x+a-2
2x+1
（a∈R）
（1）若f（x）为奇函数，求a的值．
（2）若f（x）定义在[-4，+∞）上，且对f（x）定义域内的一切实数x，f（cosx+b+
1
4
）≥f（sin²x-b-3）恒成立，求实数b的取值范围．

难度：中等

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5．已知函数f（x）=lnx-（1+a）x²-x．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a＜1时，证明：对任意的x∈（0，+∞），有f（x）＜-
lnx
x
-（1+a）x²-a+1．

难度：较难

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6．已知a是大于0的实数，函数f（x）=x²（x-a）．
（1）若f′（2）=0，求a值；
（2）求f（x）在区间[0，2]上的最小值；
（3）在（1）的条件下，设g（x）=f（x）+
m
x-1
是[3，+∞）上的增函数，求实数m的最大值．

难度：中等

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7．已知函数f（x）=2x³-3x²+1，对于区间[
1
2
，2]上的任意x₁，x₂，|f（x₁）-f（x₂）|的最大值是．

难度：中等

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8．已知关于x的方程x²-2alnx-2ax=0有唯一解，则实数a的值为（　　）

A．1

B．

C．

D．

难度：较难

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9．已知函数f（x）=
lnx
x
，g（x）=ax-a．
（1）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象相切，求a的值及切点的坐标；
（2）若m，n∈（0，1]，且m＞n，求证：
mn
mn
nm
≥e^m-n．

难度：中等

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10．已知承数f（x）=
1+μln(x+1)
λx
（λ，μ∈R），g（x）=
k
x+1
，若函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y=-（
1
2
+1n2）x+
3
2
+2ln2．
（1）求λ，μ的值；
（2）求最大的正整数k，∀c＞0，∃b∈（-1，c），且f（c）=g（b）．

难度：较难

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