知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知f（n）=1+
1
2
+
1
3
+L+
1
n
（n∈N^*），用数学归纳法证明f（2ⁿ）＞
n
2
时，f（2^k+1）-f（2^k）等于．

难度：中等

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2．已知函数f（x）=ln（x+a）-x²-x在x=0处取得极值．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若关于x的方程，f(x)=-
5
2
x+b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）证明：对任意的正整数n，不等式
2
12
+
3
22
+…+
n+1
n2
＞ln(n+1)成立．

难度：较难

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3．已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{
1
an
}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞
xn
ex
．

难度：较难

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4．已知f(n)=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
(n∈N*)，g(n)=2(
n+1
-1)(n∈N*)．
（1）当n=1，2，3时，分别比较f（n）与g（n）的大小（直接给出结论）；
（2）由（1）猜想f（n）与g（n）的大小关系，并证明你的结论．

难度：较难

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5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n²-（a_n+2）S_n+1=0，1-S_n=a_nb_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）若正项数列{c_n}满足cn≤
a
1+(bn-1)a
(n∈N*，0＜a＜1)，求证：
n
k=1
ck
k+1
＜1．

难度：较难

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6．设函数f（x）=x²+2lnx，用f′（x）表示f（x）的导函数，g(x)=(x2-
m2
12
)f′(x)，其中m∈R，且m＞0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x₁、x2∈[
1
3
，1]都有f′（x₁）≤g′（x₂）成立，求m实数的取值范围；
（3）试证明：对任意正数a和正整数n，不等式[f′（a）]ⁿ-2^n-1f′（aⁿ）≥2ⁿ（2ⁿ-2）．

难度：较难

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7．设函数f(x)=x2ex-1-
1
3
x3-x2(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）求y=f（x）在[-1，2]上的最小值；
（3）当x∈（1，+∞）时，用数学归纳法证明：∀n∈N*，ex-1＞
xn
n!
．

难度：较难

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8．在数列{a_n中，a₁=a（a＞2）且an+1=
an2
2(an-1)
(n∈N*)
（1）求证a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求证a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求证：k＜
ln
3
a
ln
3
4
+1．

难度：较难

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9．已知数列{a_n}中，a1=
2
2
，an+1=
n+1
n+2
an (n=1，2，…)．计算a₂，a₃，a₄的值，根据计算结果，猜想a_n的通项公式，并用数学归纳法进行证明．

难度：中等

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10．已知m，n为正整数．
（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x＞-1时，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）对于n≥6，已知(1-
1
n+3
)n＜
1
2
，求证(1-
m
n+3
)n＜(
1
2
)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出满足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整数n．

难度：难

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