知识点挑题 - 高中数学 - 优优班--学霸训练营

1．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，点P(1，
3
2
)在椭圆C上，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点B，且2
F1F2
+
F2B
=
0
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在过点Q（4，0）的直线m与椭圆C相交于不同的两点M，N，使得36|QP|²=35|QM|•|QN|？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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2．已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）离心率为
2
2
，左、右焦点分别为F₁，F₂，左顶点为A，|AF₁|=
2
-1
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若直线l经过F₂与椭圆交于M，N两点，求
F1M
•
F1N
取值范围．

难度：中等

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3．已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点为F（1，0），其离心率为
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线y=x+m与C相交于A，B两点，若
OA
•
OB
=-1（O为坐标原点），求实数m的值．

难度：中等

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4．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，点P是椭圆E上的一个动点，△PF₁F₂的周长为6，且存在点P使得，△PF₁F为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B，C，D是椭圆E上不重合的四个点，AC与BD相交于点F₁，且
AC
•
BD
=0．若AC的斜率为
3
，求四边形ABCD的面积．

难度：中等

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5．（Ⅰ）在圆x²+y²=4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段，D为垂足，当P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程；
（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为曲线为C，斜率为k（k≠0）的直线l交曲线C于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点，记直线OM，ON的斜率分别为k₁，k₂，当3（k₁+k₂）=8k时，证明：直线l过定点．

难度：中等

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6．椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点为F₁，右焦点为F₂，离心率e=
1
2
，P是椭圆上的一点，已知△PF₁F₂内切圆半径为1，内心为I，且S △PIF1+S △PIF2=2．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过椭圆的左焦点F₁做两条互相垂直的弦AB，CD，求|
AB
|+|
CD
|的最小值．

难度：中等

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7．已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
1
2
，且点（1，
3
2
）在椭圆E上．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设动直线l：y=kx+m（k，m∈R）与椭圆E只有一个公共点P．
（1）用实数k，m表示点P的坐标；
（2）若动直线l与直线x=4相交于点Q，问：在x轴上是否存在定点M，使得MP⊥MQ？若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．

难度：较难

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8．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂且F₁F₂|=2，点P（1，
3
2
）在该椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程及其离心率e；
（Ⅱ）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为
12
2
7
，求以F₂为圆心且与直线l相切的圆的方程．

难度：中等

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9．已知⊙M：（x+1）²+y²=
49
4
的圆心为M，⊙N：（x-1）²+y²=
1
4
的圆心为N，一动圆M内切，与圆N外切．
（Ⅰ）求动圆圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）设A，B分别为曲线P与x轴的左右两个交点，过点（1，0）的直线l与曲线P交于C，D两点．若
AC
•
DB
+
AD
•
CB
=12，求直线l的方程．

难度：中等

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10．如图：Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
，曲线E过C点，动点P在E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的标准方程；
（2）过B点且倾斜角为120°的直线l交曲线E于M，N两点，求|MN|的长度．

难度：中等

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